Các biến ngẫu nhiên độc lập có điều kiện Độc lập thống kê

Về mặt trực quan, hai biến ngẫu nhiên X và Y được gọi là độc lập có điều kiện với Z cho trước, nếu một khi Z được cho trước thì giá trị của Y không cung cấp thêm được thông tin gì về X. Ví dụ, hai số đo X và Y về cùng một định lượng Z không độc lập với nhau, nhưng chúng độc lập có điều kiện nếu cho trước Z (trừ khi các sai sót trong hai số đo có quan hệ với nhau theo một cách nào đó.)

Định nghĩa chính thức của độc lập có điều kiện được dựa trên khái niệm về các phân bố có điều kiện. Nếu X, Y, và Z là các biến ngẫu nhiên rời rạc, thì ta định nghĩa X và Y là độc lập có điều kiện với Z được cho trước nếu

P(X = x, Y = y | Z = z) = P(X = x | Z = z) · P(Y = y | Z = z)

với mọi x, y và z sao cho P(Z = z) > 0. Mặt khác, nếu các biến ngẫu nhiên là liên tục và có một hàm mật độ xác suất kết hợp p, thì X và Y là độc lập có điều kiện với Z cho trước nếu

pXY|Z(x, y | z) = pX|Z(x | z) · pY|Z(y | z)

với mọi số thực x, y và z sao cho pZ(z) > 0.

Nếu X và Y là độc lập có điều kiện với Z cho trước, thì

P(X = x | Y = y, Z = z) = P(X = x | Z = z)

với x, y và z bất kỳ với P(Z = z) > 0. Nghĩa là, phân bố có điều kiện cho X với Y và Z cho trước trùng với phân bố có điều kiện của X mà chỉ Z được cho trước. Một đẳng thức tương tự cũng đúng với các hàm mật độ xác suất có điều kiện trong trường hợp liên tục.

Tính độc lập có thể được xem là một trường hợp đặc biệt của độc lập có điều kiện, do xác suất có thể được coi là một dạng xác suất có điều kiện mà không cho trước biến cố nào.